标量场与矢量场

标量场：$\phi(x, y, z, t)$
矢量场：$\vec{F}(x,y,z) = F_x(x,y,z)\vec{e_x}+F_y(x,y,z)\vec{e_y}+F_z(x,y,z)\vec{e_z}$

矢量的运算

加法、减法、数乘、标量积（点乘）、矢量积（叉乘）

矢量积

若$\vec{c} = \vec{a} \times \vec{b}$，则：$|\vec{c}| = |\vec{a}||\vec{b}|sin\theta$ ; $\vec{a}、\vec{b}、\vec{c}$ 三者方向遵循右手定则

注意：  $\vec{a} \times \vec{b} = −\vec{b} \times \vec{a}$

  

矢量的通量、散度

通量

$\int_S\vec{a} \cdot d \vec{S} = \int_S\vec{a} \cdot \vec{n}~d S = \int_Sa~dS~cos\theta$

散度

$div~\vec{a} = \lim_{\Delta V \rightarrow 0}\frac{通量}{\Delta V}$

$div~\vec{a} = \frac{\partial a_x}{\partial x} + \frac{\partial a_y}{\partial y} + \frac{\partial a_z}{\partial z}$

  定义哈密顿算符：$\vec\nabla = \vec{e_x} \frac{\partial}{\partial x} + \vec{e_y} \frac{\partial}{\partial y} + \vec{e_z} \frac{\partial}{\partial z}~~~~~~~$则： $div~\vec{a} = \vec\nabla \cdot \vec{a}~~~~~~~$两个向量和的散度：$\vec\nabla \cdot( \vec{a} + \vec{b}) = \vec\nabla \cdot \vec{a} + \vec\nabla \cdot \vec{b}$

高斯定理（散度定理）

$\oint_s\vec{a} \cdot d\vec{S} = \int_V \vec{\nabla} \cdot \vec{a}~dV$